Question

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設點為直線上的點，求直線的方程；
(Ⅲ) 當點在直線上移動時，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

試題分析： (1)利用點到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯立，借助韋達定理將進行轉化處理，通過參數的消減得到函數關系式是解題的關鍵，然后利用二次函數求最值，需注意變量的范圍.
試題解析：（1）依題意，解得（負根舍去） （2分）
拋物線的方程為； （4分）
（2）設點,，由,即得. 
∴拋物線在點處的切線的方程為，即.       （5分）
因為在切線上且所以，
從而同理，，    （6分）
不妨取，所以，   （7分）
又，∴直線 的方程為              （8分）
（3）依據（2）由 得，                   （9分）
于是，                  （10分）
所以
又，所以， （11分）
從而                                        （12分）