Question

某銀行準備新設一種定期存款業務，經預測，存款量與利率的平方成正比，比例系數為k（k＞0），且知當利率為0.012時，存款量為1.44億；又貸款的利率為4.8%時，銀行吸收的存款能全部放貸出去；若設存款的利率為x，x∈（0，0.048），則當x為多少時，銀行可獲得最大收益？

Answer 1

分析：由題意知：存款量f（x）=kx²，當利率為0.012時，存款量為1.44億，由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，得f（x）=10000x²，銀行應支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，設銀行可獲收益為y，則y=480x²-10000x³，再由導數性質能求出當x為多少時，銀行可獲得最大收益．

解答：解：由題意知：存款量f（x）=kx²，
當利率為0.012時，存款量為1.44億，
即x=0.012時，y=1.44；
由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，
∴f（x）=10000x²，
銀行應支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，
設銀行可獲收益為y=貸款收益-利息支出，
則y=480x²-10000x³，
由于y'=960x-30000x²，則y'=0，
即960x-30000x²=0，得x=0或x=0.032．
因為x∈（0，0.032）時，y'＞0，
此時，函數y=480x²-10000x³遞增；
x∈（0.032，0.048）時，y'＜0，
此時，函數y=480x²-10000x³遞減；
故當x=0.032時，y有最大值，其值約為0.164億．

點評：本題考查函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．