Question

32、某銀行準備新設一種定期存款業務，經預測，存款量與利率的平方成正比，比例系數為K（K＞0），貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去．
（1）若存款的利率為x，x∈（0，0.048），試寫出存款量g（x）及銀行應支付給儲戶的利息h（x）；
（2）存款利率定為多少時，銀行可獲得最大收益？

Answer 1

分析：（1）題目中條件：“存款量與利率的平方成正比”設比例系數為K，可得g（x）=Kx²，及銀行應支付給儲戶的利息；
（2）最大收益問題可利用求函數的最大值問題解決，由于所得函數y=0.048•Kx²-Kx³為三次函數，故應用導函數的性質可求三次函數的最大值．

解答：解：（1）由題意，存款量g（x）=Kx²，
銀行應支付的利息h（x）=x•g（x）=Kx³
（2）設銀行可獲收益為y，則y=0.048•Kx²-Kx³
y′=K•0.096x-3Kx²令y′=0即K×0.096x-3Kx²=0
解得x=0或x=0.032
又當x∈（0，0.032）時，y′＞0，x∈（0.032，0.048）時，
y′＜0∴y在（0，0.032）內單調遞增，在（0.032，0.048）單調遞減
故當x=0.032時，y在（0，0.048）內取得極大值，亦即最大值．
答：存款利率為3.2%時，銀行可獲得最大收益．

點評：本題主要考查函數在實際生活中的應用、導數求最值的方法等，解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．