Question

19、某銀行準備新設一種定期存款業務，經預測：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k（k＞0），貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當存款利率定為多少時，銀行可獲取最大收益？

Answer 1

分析：根據銀行收益=貸款收益-存款利息，故可設出存款利率，將銀行收益表示為利率的函數y=0.048kx²-kx³，然后對函數進行求導判斷函數的單調性，進而求出函數的最值即可．

解答：解：設存款利息為x，則應用x∈（0，0.048），
依題意：存款量是kx²，銀行應支付的利息是kx³，貸款的收益是0.048kx²，所以銀行的收益是y=0.048kx²-kx³．
由于y'=0.096kx-3kx²，令y'=0，得x=0.032或x=0（舍去），
又當0＜x＜0.032時，y'＞0；當0.032＜x＜0.096時，y'＜0，
所以當x=0.032時，y取得最大值，即當存款利率定為3.2%時，銀行可獲得最大利潤．

點評：本題主要考查利用導數求函數的最值的問題．屬基礎題．