Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項為2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，求數列{S_n}的通項公式；
（3）是否存在k∈N^*，使得++…+＜k對任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等比數列的性質可知a₁a₅=a₃²，a₂a₈=a₅²化簡a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得到a₃+a₅=5，又因為a₃與a₅的等比中項為2，聯立求得a₃與a₅的值，求出公比和首項即可得到數列的通項公式；
（2）把a_n代入到b_n=中得到b_n的通項公式，即可得到前n項和的通項s_n；
（3）把s_n代入得到，討論求出各項和的最大值，即可求出k的取值范圍．
解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，
∴（a₃+a₅）²=25，
又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又a₃與a₅的等比中項為2，
∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=，a₁=16，∴a_n=16×（）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4為首項，-1為公差的等差數列，
∴S_n=．
（3）由（2）知S_n=，∴=．
當n≤8時，＞0；當n=9時，=0；
當n＞9時，＜0．
∴當n=8或9時，++++=18最大．
故存在k∈N^*，使得+++＜k對任意n∈N^*恒成立，k的最小值為19．
點評：考查學生靈活運用等比數列性質的能力，掌握等比數列的通項公式，會進行數列的求和，理解函數恒成立時所取的條件．