Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a4=

2

3

 ， a3+a5=

20

9

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的公比大于1，且bn=log3

an

2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q≠0，利用等比數(shù)列的通項公式代入已知，可求a₁，q，進而可求通項
（2）由（1）及數(shù)列公比大于1，可求a_n，代入bn=log3

an

2

，可求b_n，然后可證b_n-b_n-1=常數(shù)，可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式可求

解答：解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則q≠0，
∵a4=

2

3

 ， a3+a5=

20

9

∴

2

3q

+

2q

3

=

20

9

所以

2

q

+2q=

20

3

，解得q1=

1

3

，q2=3，
當q1=

1

3

時，a₁=18．所以an=18×(

1

3

)n-1=2×33-n．
當q₂=3時，a1=

2

81

，所以an=

2

81

×3n-1=2×3n-5．
（2）由（1）及數(shù)列公比大于1，得q=3，an=2×3n-5，
∴bn=log3

an

2

=log33n-5=n-5，b_n-b_n-1=1（常數(shù)），
∵b₁=-4．
所以數(shù)列{b_n}為首項為-4，公差為1的等差數(shù)列，
由等差數(shù)列的求和公式可得，Sn=

b1+bn

2

n=

n2-9n

2

．

點評：本題主要考查了利用等比數(shù)列的基本量a₁，q表示等比數(shù)列的項及等比數(shù)列的通項公式的應用，等差數(shù)列的證明及求和公式等知識的綜合應用．