Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項a₁=2，S_n為其前n項和，若5S₁，S₃，3S₂成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，c_n=

2

bnbn+1

，記數列{c_n}的前n項和為T_n．若對于任意的n∈N^*，T_n≤λ（n+4）恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,等比數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由5S₁，S₃，3S₂成等差數列，利用性質建立方程，再用首項與公比將此方程轉化為關于公比的等式，解出公比的值得出通項；
（2）依次求出b_n、c_n，根據所得出的形式，裂項求和即可．

解答： 解：（1）設{a_n}的公比為q．
∵5S₁，S₃，3S₂成等差數列，∴2S₃=5S₁+3S₂．
即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q)，化簡得2q²-q-6=0，
解得：q=2或q=-

3

2

．由已知，q=2．∴an=2n．…（6分）
（2）由b_n=log₂a_n得bn=log22n=n．
∴cn=

2

bnbn+1

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)．…（9分）
∴Tn≤λ(n+4)?λ≥

2n

(n+1)(n+4)

=

2

n+ 4 n +5

…（12分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當且僅當n=

4

n

即n=2時等號成立，
∴

2

n+ 4 n +5

≤

2

9

．
∴實數λ的取值范圍是[

2

9

，+∞)．…（14分）

點評：本題考查等差數列的性質，求和公式，數列求和的技巧，不等式恒成立的轉化，綜合性質較強，解答時要細致認真，才能解答完整．