Question

【題目】已知函數（，且，e為自然對數的底）.

（I）求函數的單調區間

（Ⅱ）若函數在有兩個不同零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當時，增區間為，減區間為；當時，增區間為，減區間為；（Ⅱ）.

【解析】

（I），分，兩種情況討論解不等式即可；

（Ⅱ）因為有兩個正零點，由（I）知且在上單調遞減，在上單調遞增.當，當，，所以只需，對于①直接解不等式，對于②，構造，結合單調性解決.

（I）由，知

①當時，定義域為得，得；

②當時，定義域為得，得

所以，當時，增區間為，減區間為；

當時，增區間為，減區間為；

（Ⅱ）因為有兩個正零點，由（I）知

且在上單調遞減，在上單調遞增.

設時，指數函數是爆炸增長，，

當，當，

因為有兩個正零點，所以有，

由①得，

對于②，令，，

在上單調遞增，且，由知，

由②得

綜上所述，

【點晴】

本題考查利用導數研究函數的單調性以及已知函數零點個數求參數范圍的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道中檔題.