Question

已知函數
（I）求證 
（II）若取值范圍.

Answer 1

（I）見解析（II）

（I）解法一要證
令，則，可得在
[0,1]上為增函數，故。
要證，也就是證，即證，也就是證
令，則可得在[0,1]上為增函數，
故
綜上可得
（I）解法二要證，也就是證
令，令
，即為增函數，
，可得在 [0,1]上為增函數，
故；
要證，也就是證，即證，令
，，可得
即，從而得，故
綜上可得
（II）

，
，
,從而
所以，
下面注明，
=
，令則

于是，
此時
綜上
第一問中的解法一采取對已知函數進行分離整理，使得函數的結構變得簡單對稱，求得導函數也就變得簡單了，但是在解題過程中很難想到。解法二是直接移項構造函數，比較容易想到，但是求出導函數后又變得無從下手，這時候需要二次求導分析來解決。兩種解法各有特點。
第二問主要是在第一問的基礎上利用不等式進行適當的放縮，轉化為另一個函數進行分析解答。
【考點定位】本題考查函數與導數，導數與不等式的綜合應用。