Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為

2

，M、N分別是AC和DC₁上的點，且AM=DN=x
（1）求證MN∥平面BCC₁B₁
（2）設MN=y，求函數y=f（x）
（3）當MN最短時，求MN與AC所成的角．

Answer 1

分析：（1）過點N，作NP∥CC₁，可得NP∥平面BCC₁B₁ ，且

DN

DC1

=

DP

DC

．由條件可得

DN

DC1

=

AM

AC

，故有

DP

DC

=

AM

AC

，可得PM∥AD，故 PM∥BC．可得MP∥
平面BCC₁B₁ ，可得平面MNP∥平面BCC₁B₁ ．從而證得MN∥平面BCC₁B₁．
（2）由三角形相似求得 MP=

2

（1-

x

2

），NP=

2

2

x，可得函數y=f（x）=

NP2+MP2

=

(x-1)2+1

，（0＜x＜2）．
（3）由（2）可得，當x=1時，MN最短為1，此時，M、N分別為AC、DC₁的中點，MN與AC所成的角即為∠NMC．求得MP、NP、MN的值，可得∠NMC 的值，
即為所求．

解答：解：（1）過點N，作NP∥CC₁，則由CC₁?平面BCC₁B₁，NP不在平面平面BCC₁B₁ 內，
可得NP∥平面BCC₁B₁ ，且

DN

DC1

=

DP

DC

．
∵AM=DN，AC=DC₁，∴CP=CM，∴

DN

DC1

=

AM

AC

．
故有

DP

DC

=

AM

AC

，∴PM∥AD，PM∥BC．
再由BC?平面BCC₁B₁，NP不在平面平面BCC₁B₁ 內，可得MP∥平面BCC₁B₁ ，
再由MP∩NP=P，可得平面MNP∥平面BCC₁B₁ ．
再由MN不在平面BCC₁B₁內，可得MN∥面BCC₁B₁ ．
（2）由（1）可得三角形MNP為直角三角形，設MN=y，由于AM=DN=x，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為

2

，
由

MP

AD

=

CM

CA

，可得

MP

2

=

2-x

2

，∴MP=

2

（1-

x

2

 ），且0＜x＜2．
由

NP

CC1

=

DN

DC1

 可得

NP

2

=

x

2

，NP=

2

2

x．
故函數y=f（x）=

NP2+MP2

=

x2-2x+2

=

(x-1)2+1

，（0＜x＜2）．
（3）由（2）可得，當x=1時，MN最短為1，此時，M、N分別為AC、DC₁的中點，
MN與AC所成的角即為∠NMC．
由于此時，MC=

AC

2

=1=NC，MN=

( 2 2 )2+( 2 2 )2

=1，故△MNC為等邊三角形，故∠NMC=

π

3

，
即MN與AC所成的角等于

π

3

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求兩條直線所成的角，屬于中檔題．