Question

如圖是從上下底面處在水平狀態下的棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中分離出來的：
（1）試判斷A₁是否在平面B₁CD內；（回答是與否）
（2）求異面直線B₁D₁與C₁D所成的角；
（3）如果用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多可以盛多少體積的水．

Answer 1

分析：（1）利用正方體對角面是平行四邊形的性質即可得出；
（2）利用對角面的性質、表面對角線組成的△AB₁D₁是等邊三角形即可求出；
（3）題目中的圖形一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．

解答：解：（1）是．補全正方體如圖所示：
證明如下：連接A₁D、B₁C，∵A₁B₁∥DC，A₁B₁=DC，
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
∴A₁是在平面B₁CD內；
（2）連接AB₁、AD₁，∵對角面AB₁C₁D是矩形，∴AB₁∥DC₁，
∴∠AB₁D₁或其補角是異面直線B₁D₁與C₁D所成的角．
∵AD₁=AB₁=D₁B₁，∴△AB₁D₁是正三角形．
∴∠AB₁D₁=60°．
∴異面直線B₁D₁與C₁D所成的角是60°．
（3）題目中的圖形一個裝置來盛水，那么盛最多體積的水時應是
三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．
又VC1-B1D1C=VC-B1C1D1=

1

3

•

1

2

a•a•a=

1

6

a3．
∴用圖示中這樣一個裝置來盛水，那么最多可以盛

1

6

a3體積的水．

點評：熟練掌握正方體對角面、表面對角線的性質及三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．