Question

直線與橢圓相交于A，B兩點，該橢圓上點P，使得△PAB面積等于3，這樣的點P共有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出P₁的坐標(biāo)，表示出四邊形P₁AOB面積S利用兩角和公式整理后．利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值，進而求得△P₁AB的最大值，利用6√2-6＜3判斷出點P不可能在直線AB的上方，進而推斷出在直線AB的下方有兩個點P，
解答：解：設(shè)P₁（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即點P₁在第一象限的橢圓上，考慮四邊形P₁AOB面積S，
S=S_△OAP1+S_△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S_max=6．
∵S_△OAB=×4×3=6為定值，
∴S_△P1AB的最大值為6-6．
∵6-6＜3，
∴點P不可能在直線AB的上方，顯然在直線AB的下方有兩個點P，
故選B．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．