Question

橢圓

x2

45

+

y2

20

=1的焦點分別為F₁和F₂，過原點O作直線與橢圓相交于A，B兩點．若△ABF₂的面積是20，則直線AB的方程是

y=±

4

3

x

．

Answer 1

分析：由

x2

45

+

y2

20

=1可得焦點分別為F₁和（-5，0），F₂（5，0）
①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=0，可求面積，檢驗是否滿足條件
②當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程y=kx，聯立方程

y=kx x2 45 + y2 20 =1

可求A點坐標，而△ABF₂的面積為S=2SAOF2，代入可求k

解答：解：∵

x2

45

+

y2

20

=1中a=3

5

，b=2

5

，c=5，則的焦點分別為F₁和（-5，0），F₂（5，0）
①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=0，此時AB=4

5

S△ABF2=

1

2

AB•5=

1

2

×4

5

×5=10

5

不符合題意
②可設直線AB的方程y=kx
聯立方程

y=kx x2 45 + y2 20 =1

可得（4+9k²）x²=180
∴xA=6

5 4+9k2

，yA=

6 5 k

4+9k2

∴AB=2AO=2×

6 5+5k2

4+9k2

∴△ABF₂的面積為S=2SAOF2=2×

1

2

×5×

6 5 k

4+9k2

=20
∴k=±

4

3

∴直線AB的方程y=±

4

3

x
故答案為y=±

4

3

x

點評：本題主要考查了直線與橢圓相交關系的應用，一般的處理方法是聯立直線與橢圓方程，利用方程的思想，本題還考查了方程的根與 系數關系的應用及一定的計算能力