Question

【題目】設函數f（x）=ex﹣ax﹣2．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若a=1，k為整數，且當x＞0時，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ex﹣ax﹣2的定義域是R，f′（x）=ex﹣a，

若a≤0，則f′（x）=ex﹣a≥0，所以函數f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上單調遞增．

若a＞0，則當x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）=ex﹣a＜0；

當x∈（lna，+∞）時，f′（x）=ex﹣a＞0；

所以，f（x）在（﹣∞，lna）單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增．

（2）解：由于a=1，所以，（x﹣k） f（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1

故當x＞0時，（x﹣k） f（x）+x+1＞0等價于k＜ （x＞0）①

令g（x）= ，則g′（x）=

由（1）知，當a=1時，函數h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上單調遞增，

而h（1）＜0，h（2）＞0，

所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零點，

故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點，設此零點為α，則有α∈（1，2）

當x∈（0，α）時，g′（x）＜0；當x∈（α，+∞）時，g′（x）＞0；

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．

又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等價于k＜g（α），故整數k的最大值為2．

【解析】（1）求函數的單調區間，可先求出函數的導數，由于函數中含有字母a，故應按a的取值范圍進行分類討論研究函數的單調性，給出單調區間；（2）由題設條件結合（1），將不等式，（x﹣k） f（x）+x+1＞0在x＞0時成立轉化為k＜ （x＞0）成立，由此問題轉化為求g（x）= 在x＞0上的最小值問題，求導，確定出函數的最小值，即可得出k的最大值；
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．