Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，AC平面ABC，

∴CC1⊥AC

∵AC=3，BC=4，AB=5，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB

又C1C∩CB=C，

∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1平面C1CB1B，

∴AC⊥BC1

（2）證明：設(shè)CB1∩BC1=E，∵C1CBB1為平行四邊形，

∴E為C1B的中點(diǎn)

又D為AB中點(diǎn)，∴AC1∥DE

DE平面CDB1，AC1平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1

【解析】（1）利用ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，證明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2 ， 說(shuō)明AC⊥CB，證明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1 ． （2）設(shè)CB1∩BC1=E，說(shuō)明E為C1B的中點(diǎn)，說(shuō)明AC1∥DE，然后證明AC1∥平面CDB1 ．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．