Question

【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．

（1）求證：無論m取什么實數，直線l恒過第一象限；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時m的值以及最短長度；
（3）設直線l與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ ，得x=3，y=1，

故l恒過定點D（3，1）

∵D（3，1）在第一象限，

∴直線l恒過第一象限；

（2）解：因為（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25，

則點D在圓C的內部，直線l與圓C相交．

圓心C（1，2），半徑為5，|CD|= ，

當截得的弦長最小時，l⊥CD，由于kCD= =﹣ ，

則l的斜率為2，即有﹣ =2，解得m=﹣ ．

此時最短弦長為2 =4 ，

故當m=﹣ 時，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是4

（3）解：設M（x，y），則由CM⊥DM得 =﹣1，∴x2+y2﹣4x﹣3y+5=0．
【解析】（1）通過直線l轉化為直線系，求出直線恒過的定點；（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長；（3）由CM⊥DM得AB中點M的軌跡方程．