Question

【題目】如圖，OH分別為銳角△ABC的外心垂心，AD⊥BC于D，G為AH的中點點K在線段GH上，且滿足GK=HD，連結KO并延長交AB于點E.

（1） 證明：；

（2） 證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析

【解析】

（1）如圖，連結BO并延長交圓O于點F，由O為△ABC的外心，知BF為圓O的直徑，所以.

結合H為△ABC的垂心，得HC⊥AB，所以AF∥HC.同理，FC∥AH.

所以四邊形AHCF為平行四邊形，.

作OM⊥BC交BC于點M，則OM=FC.

因此，由G為AH的中點，GK=HD，

可得.

結合KD∥OM，得四邊形OMDK為平行四邊形.

所以OK∥MD，即EK∥BC.

（2）如圖，作GN⊥AB于N.

由H為△ABC的垂心，知，

結合HD⊥BC，得△ANG∽△CDH.所以，∠NGA=∠DHC.

又GK=HD，AG=GH，因此，.

又∠NGK=180°-∠NGA=180°-∠DHC=∠GC，所以△NGK∽△GHC，故∠KNG=∠CGH.

由（1）知，GK⊥KE.因此，EKGN四點共圓.所以，

故.

所以GE⊥GC.