Question

設f（x）=

1

3

x³+mx²+nx．
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2處取得最小值-5，求f（x）的解析式；
（2）如果m+n＜10（m，n∈N⁺），f（x）在單調遞減區間的長度是正整數，試求m和n的值．（注：區間（a，b）的長度為b-a）

Answer 1

分析：（1）先由導數知識求出g（x），然后利用配方法把二次函數g（x）表示成頂點式，再根據g（x） 在x=-2處取得最小值-5，可列方程組求得m、n的值，則問題解決．
（2）首先求出f（x）的導函數f′（x）=x²+2mx+n（二次函數），然后根據f（x）的單調遞減區間的長度是正整數，可判斷函數f′（x）=x²+2mx+n有兩個不同的零點x₁、x₂，且利用根與系數的關系能表示出|x₁-x₂|=2

m2-n

，再由“此長度是正整數”且“m+n＜10（m，n∈N⁺）”為突破口，對m、n進行分類討論，最后找到滿足要求的m、n．

解答：解：（1）由題意得g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=（x+m-1）²+（n-3）-（m-1）²，
又g（x） 在x=-2處取得最小值-5，
所以

m-1=2 (m-3)2

+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．
所以f（x）=

1

3

x³+3x²+2x． 
（2）因為f′（x）=x²+2mx+n且f（x）的單調遞減區間的長度是正整數，
所以方程f′（x）=0，即x²+2mx+n=0必有兩不等實根，
則△=4m²-4n＞0，即m²＞n．
不妨設方程f′（x）=0的兩根分別為x₁、x₂，則|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=2

m2-n

且為正整數．
又因為m+n＜10（m，n∈N⁺），所以m≥2時才能有滿足條件的m、n．
當m=2時，只有n=3符合要求；
當m=3時，只有n=5符合要求；
當m≥4時，沒有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5滿足上述要求．

點評：本題考查了冪函數的求導公式、二次函數的最值及一元二次方程根與系數的關系；更主要的是考查利用導數研究函數單調性的方法及分類討論的思想方法．