Question

設f（x）=

1

3

x3+ax2+5x+6在區間[1，3]上為單調減函數，求實數a的取值范圍取值范圍．

Answer 1

分析：利用導數與函數的單調性的關系進行等價轉化，再利用導數求出函數的最小值即可．

解答：解：f′（x）=x²+2ax+5．
由題意函數f（x）在區間[1，3]上為單調減函數，
∴f′（x）=x²+2ax+5≤0在區間[1，3]上恒成立．
∴a≤-

1

2

x-

5

2x

在區間[1，3]上恒成立．
令g（x）=-

1

2

x-

5

2x

，x∈[1，3]，
∴g′(x)=-

1

2

+

5

2x2

=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0，x∈[1，3]，解得x=

5

．
當x∈[1，

5

)時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；當x∈(

5

，3]時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．
故函數g（x）在x=

5

取得極小值，也即最小值，g(x)min=g(

5

)=-

5

2

-

5

2 5

=-

5

．
∴a≤-

5

．
∴實數a的取值范圍取值范圍是(-∞，-

5

]．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、把問題正確等價轉化等是解題的關鍵．