Question

設f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，若當x∈（0，1]時，f（x）取得極大值，x∈（1，2]時，f（x）取得極小值，則

a-1

b-2

的取值范圍是

（1，4]

．

Answer 1

分析：據極大值點左邊導數為正右邊導數為負，極小值點左邊導數為負右邊導數為正得a，b的約束條件，據線性規劃求出最值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

a x2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數f（x）在區間（0，1]內取得極大值，在區間（1，2]內取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]內各有一個根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤ a+b+2≥0

0，在aOb坐標系中畫出其表示的區域，如圖，

b-2

a-1

表示點A（1，2）與可行域內的點B連線的斜率，
當B（x，y）=M（-1，0）時，

b-2

a-1

最大，最大為1；
當B（x，y）=N（-3，1）時，

b-2

a-1

最小，最小為

1

4

；
所以

b-2

a-1

∈[

1

4

，1）⇒

a-1

b-2

∈（1，4]．
故答案為（1，4]．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及會進行簡單的線性規劃的能力．