Question

已知定義在上的奇函數在處取得極值.
（Ⅰ）求函數的解析式；
　 （Ⅱ）試證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有成立；
（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，試求點P對應平面區域的面積.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅲ）8

（I）由題意，∴ ,
∴,又，
即
解得.
∴------------------------------------------------4分
（II）∵，,
當時，，故在區間[－1，1]上為減函數，
∴
對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值，
∴-------------------------------9分
（III）設切點為，則點M的坐標滿足
因，故切線的方程為：
，
∵，∴
整理得.
∵若過點可作曲線的三條切線，
∴關于方程有三個實根.
設，則
，
由，得或.
由對稱性，先考慮
∵在，上單調遞增，在上單調遞減.
∴函數的極值點為,或
∴關于方程有三個實根的充要條件是
，解得.
故時，點P對應平面區域的面積
故時，所求點P對應平面區域的面積為，即8.