Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線的方程為，曲線是以坐標原點為頂點，直線為準線的拋物線.以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）分別求出直線與曲線的極坐標方程：

（2）點是曲線上位于第一象限內的一個動點，點是直線上位于第二象限內的一個動點，且，請求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）由拋物線的準線方程易得拋物線方程，再用，，可將直線與曲線的直角坐標系方程轉化為極坐標系方程；（2）直接在極坐標系下設點A、B的坐標，然后計算其比值，求出最大值即可.

（1）因為，所以直線的極坐標系方程為，

又因為直線為拋物線的準線，所以拋物線開口朝右，且，即

所以曲線的平面直角坐標系方程為，

因為，

所以極坐標系方程為；

（2）設，則，則，.

記，則

則

因為，當且僅當時取等號

所以

所以取最大值為.