【題目】在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.數學李老師有一個正六棱柱形狀的筆筒，如圖，底面邊長為
，高為
（底部及筒壁厚度忽略不計）.一根長度為
的圓鐵棒
（粗細忽略不計）斜放在筆筒內部，的一端置于正六棱柱某一側棱的底端，另一端置于和該側棱正對的側棱上.一位小朋友玩耍時，向筆筒內注水，恰好將圓鐵棒淹沒，又將一個圓球放在筆筒口，球面又恰好接觸水面，則球的表面積為______
.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
，過焦點且垂直于長軸的弦長為
.
（1）已知點
是橢圓上兩點，點
為橢圓的上頂點，
的重心恰好是橢圓的右焦點
，求
所
在直線的斜率；
（2）過橢圓的右焦點
作直線
，直線
與橢圓分別交于點
，直線
與橢圓分別交于點
，
且
，求四邊形
的面積
最小時直線的方程.
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【題目】數列
：
，
，
，…，
，…，對于給定的
（
，
），記滿足不等式：
（
，
）的
構成的集合為
．
（Ⅰ）若數列
，寫出集合
；
（Ⅱ）如果（，）均為相同的單元素集合，求證：數列，，…，，…為等差數列；
（Ⅲ）如果（，）為單元素集合，那么數列，，…，，…還是等差數列嗎？如果是等差數列，請給出證明；如果不是等差數列，請給出反例．
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【題目】用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中6個格子，每格子染一種顏色，并且從左往右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的染色方法種數為________．
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【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程：
（
為參數），以坐標原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）過曲線上一點
作直線
與曲線交于
兩點，中點為
，
，求
的最小值.
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【題目】新中國昂首闊步地走進2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復興之路一新中國70周年知識問答”活動，規則如下：共有30道單選題，每題4個選項中只有一個正確，每答對一題獲得5顆紅星，每答錯一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數越多獎品等級越高.小強參加該活動，其中有些題目會做，有些題目可以排除若干錯誤選項，其余的題目則完全不會.
（1）請問：對于完全不會的題目，小強應該隨機從4個選項中選一個作答，還是選擇放棄？（利用統計知識說明理由）
（2）若小強有12道題目會做，剩下的題目中，可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數量比是
.請問：小強在本次活動中可以獲得最多紅星數的期望是多少？
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【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
為平行四邊形，
，
平面，
，
，
，且
是
的中點.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在線段
上是否存在一點
，使得
與
所成的角為
？ 若存在，求出
的長度；若不存在，請說明理由.
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【題目】分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規律可尋的．一個數學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段
的長度為a，在線段上取兩個點C、D，使得
，以
為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段
作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；
記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為
，若對任意的正整數n，都有
．則正數a的最大值為______．
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