Question

【題目】新中國昂首闊步地走進2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復興之路一新中國70周年知識問答”活動，規則如下：共有30道單選題，每題4個選項中只有一個正確，每答對一題獲得5顆紅星，每答錯一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數越多獎品等級越高.小強參加該活動，其中有些題目會做，有些題目可以排除若干錯誤選項，其余的題目則完全不會.

（1）請問：對于完全不會的題目，小強應該隨機從4個選項中選一個作答，還是選擇放棄？（利用統計知識說明理由）

（2）若小強有12道題目會做，剩下的題目中，可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數量比是.請問：小強在本次活動中可以獲得最多紅星數的期望是多少？

Answer 1

【答案】（1）選擇放棄作答；（2）72

【解析】

（1）對于任一道完全不會的題目，若選擇放棄，則獲得的紅星數為0，若選擇作答，設小明從四個選項中選一個作答獲得的紅星數為ξ，ξ取5，-2，列出其分布列，求出期望即可；

（2）依題意，分別求出可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項的每道題目的可獲得紅星數的期望，由（1）知完全不會的題目可選擇放棄，再求每類題目數與該類題目每道題的期望的乘積，最終求和即可得到結果.

（1）對于任一道完全不會的題目，若選擇放棄，則獲得的紅星數為0；

若選擇作答，設小明從四個選項中選一個作答獲得的紅星數為ξ，其分布列為：

ξ	5
P

所以，故應該選擇放棄作答；

（2）由題意知，可以排除一個選項的題目有道，

設這9道題目中每道題小明從四個選項中選一個作答獲得的紅星數為X，其分布列為：

X	5
P

所以：；

可以排除兩個選項的題目有道，

設這6道題目中每道題小明從四個選項中選一個作答獲得的紅星數為Y，其分布列為：

Y	5
P

；

完全不會的題目有道，

由（1）知應選擇放棄，這3道題中每道題得到的紅星數的期望為0．

因此，小明在本次活動中可以獲得的最多紅星數的期望是：

．