Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，且是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得與所成的角為？ 若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析． （Ⅱ） ． （Ⅲ）不存在點；理由見解析．

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，證明，即可證明平面．

（Ⅱ）根據平面的法向量，求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式即可求得二面角的值．

（Ⅲ）假設存在這樣的P，設出P點坐標，根據向量的夾角關系求出P的坐標，根據P的位置即可判斷出不存在．

（Ⅰ）證明：因為平面，，故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

由已知可得各點坐標為

，

設平面的一個法向量是

由 得

令，則

又因為 ，

所以，又平面，所以平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一個法向量是.

因為平面，所以

又因為，所以平面.

故是平面的一個法向量.

所以 ，又二面角為銳角，

故二面角的大小為

（Ⅲ）假設在線段上存在一點，使得與所成的角為

不妨設 ，則

所以

由題意得

化簡得

解得

因為，所以無解

即在線段上不存在點，使得與所成的角為