Question

【題目】已知函數f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k
（1）若k=0，證明f（x）＞0
（2）若f（x）≥0，求k的取值范圍；并證明此時f（x）的極值存在且與a無關．

Answer 1

【答案】
（1）證明：若k=0，f′（x）= ﹣ = ，

x∈（0， ），f′（x）≥0，f（x）遞減，

x∈[ ，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）遞增，

故f（x）min=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）＞0，得證

（2）證明：若f（x）=2lnx+ ﹣2lna﹣k ≥0，

變形得2ln + ≥k ，

令 =t（t＞0），得 ≥k，

g（t）= ，g′（t）= ，

令k（t）=t﹣tlnt﹣1，k′（t）=﹣lnt，

得k（t）=在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，

故k（t）≤0，g′（t）≤0，

g（t）在（0，+∞）遞減，t→+∞，g（t）→0，

故g（t）＞0，k≤0，

下面證明f（x）的極值存在且與a無關，

①k=0，f′（x）= ，f（x）極小值=f（ ）=2ln +2﹣2lna=2（1﹣ln2）與a無關；

②k＜0，f′（x）= ，（其中x1= ＜0，x2= ＞0），

故x﹣x1＞0且f（x）在x2處取極小值，

f（x2）=2ln + ﹣k ，

∵x2= ，∴ = 是關于k的函數，（與a無關），

故f（x2）與a無關

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最小值證明結論即可；（2）問題轉化為2ln + ≥k ，令 =t（t＞0），得 ≥k，令g（t）= ，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．