Question

設函數f（x）=-3x|x|+bx+c，則下列命題中正確命題的序號是

②③⑤

．
①當b＜0時，f（x）在R上有最大值；
②函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
③方程f（x）=0可能有3個實根；
④存在b，c的值，使f（x）為偶函數；
⑤一定存在實數a，使f（x）在[a，+∞）上單調遞減．

Answer 1

分析：取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時函數沒有最大值，故①錯；利用函數圖象關于點對稱的定義，可以證出②正確；取b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x=0的根剛好3個，故③正確；利用奇偶性的定義，可以證出④錯；最后取b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時對任意實數a，f（x）在[a，+∞）上單調遞減，得到⑤正確．

解答：解：對于①，b＜0，可設b=-1，c=0，得f（x）=-3x|x|-x，此時函數為R上的減函數，沒有最大值，故①錯；
對于②，因為f（-x）=3x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故②正確；
對于③，可設b=3，c=0，得f（x）=-3x|x|+3x，方程f（x）=0的根有1、-1和0，剛好3個．故③正確；
對于④，設f（-x）=f（x），即3x|x|-bx+c=-3x|x|+bx+c，找不到b、c的值使此式子恒成立，所以不存在b，c的值，使f（x）為偶函數，故④錯；
對于⑤，當b=-1，c=0時，f（x）=-3x|x|-x在R上為減函數，此時對任意實數a，f（x）在[a，+∞）上單調遞減，
故⑤正確．
故答案為：②③⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數的單調性、奇偶性、圖象的對稱性和函數零點與等知識，屬于基礎題．