Question

【題目】已知向量（其中），記，且滿足.

（1）求函數的解析式；

（2）若關于的方程在上有三個不相等的實數根，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據向量坐標運算公式，求出的表達式，化簡為標準型，結合周期可得的解析式；

（2）結合所給區間，求出的值域，再利用根的分布問題求解.

（1）

由，得是函數的一個周期，

所以，的最小正周期，解得

又由已知，得 ,

因此，.

（2） 由，得

故：

因此函數的值域為.

設，

使關于的方程在上有三個不相等的實數根，當且僅當關于的方程在和上分別有一個實數根，或有一個實數根為1，另一實數根在區間上

令

①當關于的方程在和上分別有一個實數根時，

解得

②當方程的一個根是時，，

另一個根為，不滿足條件；

③當方程的一個根是時，，

另一個根為，不滿足條件；

因此，滿足條件的實數的取值范圍是.