Question

【題目】已知p：指數函數f(x)＝(2a－6)x在R上是單調減函數；q：關于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的兩根均大于3，若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(，3]∪[，＋∞).

【解析】試題分析：根據指數函數的單調性求出命題p為真命題時a的范圍，利用二次方程的實根分布求出命題q為真命題時a的范圍；
據復合命題的真假與構成其簡單命題真假的關系將“p或q為真，p且q為假”轉化為p ，q的真假，列出不等式解得．

試題解析：

p真，則指數函數f(x)＝(2a－6)x的底數2a－6滿足0<2a－6<1，所以3<a<.

q真，令g(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，易知其為開口向上的二次函數．因為x2－3ax＋2a2＋1＝0的兩根均大于3，所以①Δ＝(－3a)2－4(2a2＋1)＝a2－4>0，a<－2或a>2；②對稱軸x＝－＝>3；③g(3)>0，即32－9a＋2a2＋1＝2a2－9a＋10>0，所以(a－2)(2a－5)>0.所以a<2或a>.

由得a>.

p真q假，由3<a<及a≤，得a∈.

p假q真，由a≤3或a≥及a>，得<a≤3或a≥.

綜上所述，實數a的取值范圍為(，3]∪[，＋∞).