Question

【題目】

如圖，已知是以的直角三角形鐵皮，米，分別是邊上不與端點重合的動點，且.現將鐵皮沿折起至的位置，使得平面平面，連接，如圖所示.現要制作一個四棱錐的封閉容器，其中鐵皮和直角梯形鐵皮分別是這個封閉容器的一個側面和底面，其他三個側面用相同材料的鐵皮無縫焊接密封而成（假設制作過程中不浪費材料，且鐵皮厚度忽略不計）．

（1）若為邊的中點，求制作三個新增側面的鐵皮面積是多少平方米？

（2）求這個封閉容器的最大體積．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）由于，且，則，即，

又平面平面，且平面平面，所以平面，

易得，又為邊的中點，

則米，米，

于是得米，米，米，

取的中點為，則，且米，

則（平方米），（平方米），（平方米），

故制作三個新增側面的鐵皮面積是平方米．

（2）依題意，設米，則米，且．

由，知與相似，則，得米．

由（1）知，底面，

則四棱錐的體積（），

則，

易知在上單調遞增，在上單調遞減，則立方米．

故這個封閉容器的最大體積是立方米．