Question

【題目】已知函數，，曲線與在原點處有公共切線．

（I）若為函數的極大值點，求的單調區間（用表示）；

（II）若，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，單調遞減區間為，；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先分別求出，然后利用導數的幾何意義求得，由此對分、利用導數研究函數的單調性即可得出；（Ⅱ）首先利用導數得到函數的單調性，由此得到的最小值，從而得到，設，然后分、、，利用導數研究函數的單調性即可得出．

試題解析：（I）由題意知：的定義域為，且，，

因為曲線與在原點處有公共的切線，故，

解得：，………………2分

所以，

．………………3分

時，，函數在定義域上是減函數，故不滿足題意；4分

時，因為為函數的極大值點，故由的圖象可知，

由得：，由得：．

所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，．………………6分

（II）因為，且時，時，

故時，取得最小值0，所以，即，從而．

設，

則．………………7分

①當時，因為，所以，

所以在上單調遞增，從而，即，所以．………………9分

②當時，由①知，

所以，故，即．……11分

③當時，令，則，

顯然在上單調遞增，又，，

所以在上存在唯一零點，

當時，，所以在上單調遞減，

從而，即，所以在上單調遞減，

從而當時，，即，不合題意．………………13分

綜上，實數的取值范圍為．………………14分