Question

已知數列a_n=2n-1，數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足T_n=1-b_n
（I）求{b_n}的通項公式；
（II）在{a_n}中是否存在使得

1

an+9

是{b_n}中的項，若存在，請寫出滿足題意的一項（不要求寫出所有的項）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可知b1=

1

2

．b_n=b_n-1-b_n，故b_n為首項和公比均為

1

2

的等比數列，由此能夠求出{b_n}的通項公式．
（II）由題意可知2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N），由此能夠寫出滿足題意的一項．

解答：解：（I）當n=1時，∵B₁=T₁=1-b₁，
∴b1=

1

2

．當n≥2時，
∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
兩式相減得：b_n=b_n-1-b_n，即：bn=

1

2

bn-1，
故b_n為首項和公比均為

1

2

的等比數列，∴bn=(

1

2

)n．
（II）設a_n中第m項a_m滿足題意，即

1

am+9

=(

1

2

)n，
即2m-1+9=2ⁿ，∴m=2ⁿ-4（n≥3，n∈N）
∴a₄=7．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意運算能力的培養．