Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）當

BD

AB

=

1

3

時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC．
因為BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，交B₁C于E，DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
所以側面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以DE∥AC₁．
因為DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A₁（0，0，c），B₁（3，0，4）．
設D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因為點D在線段AB上，且

BD

AB

=

1

3

，即

BD

=

1

3

BA

．
所以a=2，b=

4

3

，

BD

=(-1，

4

3

，0)．
所以

B1C

=(3，0，4)，

BA

=(-3，4，0)，

CD

=(2，

4

3

，0)．
平面BCD的法向量為

n1

=(0，0，1)．
設平面B₁CD的法向量為

n2

=(x，y，1)，
由

B1C

•

n2

=0，

CD

•

n2

=0，得

3x+4=0 2x+ 4 3 y=0

，
所以x=-

4

3

，y=2，

n2

=(-

4

3

，2，1)．
設二面角B-CD-B₁的大小為θ，
所以cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

61

．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為

3 61

61

．