Question

已知數列各項均為正數，，且對于正整數時，都有。

    （I）當，求的值，并求數列的通項公式；

    （II）證明：對于任意，存在與有關的常數，使得對于每個正整數，都有。

Answer 1

解：（I）令，則

    將代入上式，得（*）

    ∴，，

    且，

    故為等比數列，且，

∴，∴。

    （II）由題設值僅與有關，設為。

    則，

考察函數，則在定義域上有

    故對恒成立，又，

    注意到，解上式得

    ，

    取，即有。