Question

若函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數，則a=（　�。�

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用函數f（x）的最大值為4，先確定a的值，然后利用函數g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數，確定a即可．

解答：解：①若a＞1，則函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上單調遞增，
則由f（2）=4，得a²=4，解得a=2．此時最小值m=f（-1）=2-1=

1

2

．
②若0＜a＜1，則函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上單調遞減，
則由f（-1）=4，得a^-1=4，解得a=

1

4

．此時最小值m=f（2）=（

1

4

） 2=

1

16

．
∴m=

1

2

或

1

16

．
∵函數g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數，
∴1-4m＞0，解得m＜

1

4

．
綜上：m=

1

16

，此時a=

1

4

．
故選A．

點評：本題主要考查指數函數和冪函數的單調性，注意對底數a要進行分類討論．