Question

已知：雙曲線的頂點坐標(0，1)，(0,-l)，離心率，又拋物線的焦點與雙曲線一個焦點重合．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知是軸上的兩點，過做直線與拋物線交于兩點，試證:直線與軸所成的銳角相等．
(3)在(2)的前提下，若直線的斜率為1，問的面積是否有最大值?若有，求出最大值．若沒有，說明理由．

Answer 1

(1) (2)略

(1)由題意,設雙曲線方程為,則解得  ------2分
所以雙曲線兩焦點為,即故,
∴拋物線的方程為;-----------------5分
(2)設直線AB方程為,代入拋物線的方程為得:
,
設,,則,  -----------------7分
要證直線與軸所成的銳角相等,只證明,
∵=,
所以原命題成立.-------------------9分
(3)由(2)知,k=1時,化為,由得,
點Q到AB的距離為,---------10分
-----------11分
令,則,令得:
,
∴在和(0,上都是增函數,
在是減函數,------------13分
所以無最大值.----------------14分