【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|＝8.
(Ⅰ)求拋物線C的方程；
(Ⅱ)設直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求
的最小值．
【答案】（1）y2＝4x.（2）－14
【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得|MN|＝x1＋x2＋p＝8，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程利用韋達定理得x1＋x2＝3p.代入可得p＝2（2）先根據(jù)判別式求出切線方程，再根據(jù)向量數(shù)量積坐標表示得
(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]，利用直線方程y＝x＋1，化簡得x1＋x2，x1x2關系式，最后聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入化簡得
2[(m－2)2－7]≥－14
試題解析：解：(Ⅰ)由題可知F(
，0)，則該直線方程為y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)，
得x2－3px＋
＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x.
(Ⅱ)設直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵l為拋物線C的切線，∴Δ＝0，解得b＝1.∴l的方程為y＝x＋1.
設P(m，m＋1)，則
＝(x1－m，y1－(m＋1))，
＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
由(Ⅰ)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4
＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2
＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，
當且僅當m＝2，即點P的坐標為(2，3)時，
·
的最小值為－14
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【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）若關于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
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【題目】設
,
.
（Ⅰ）當
時,求曲線
在
處的切線的方程;
（Ⅱ）如果存在
,使得
成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)
;
（Ⅲ）如果對任意的
,都有
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】已知（4
+
）n展開式中的倒數(shù)第三項的二項式系數(shù)為45．
（1）求n；
（2）求含有x3的項；
（3）求二項式系數(shù)最大的項．
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項的和記為Sn ． 如果a4=﹣12，a8=﹣4．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求Sn的最小值及其相應的n的值．
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【題目】設f（x）是定義域為R，最小正周期為3π的函數(shù)，且在區(qū)間（﹣π，2π]上的表達式為f（x）= 
，則f（﹣ 
）+f（ 
）=（ ）
A.
B.﹣
C.1
D.﹣1
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【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（ 
﹣ 
）= 
，f（ 
﹣ ）= 
，且α、β∈（﹣ 
），求cos（α+β）的值．
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1=2，Sn=n2+n．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設{ 
}的前n項和為Tn ， 求證Tn＜1．
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