Question

【題目】已知函數
（1）當a=0時，求f（x）的極值．
（2）當a≠0時，若f（x）是減函數，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

當a=0時，f（x）=2x﹣lnx，則

∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

∴當 時，f（x）的極小值為1+ln2，函數無極大值

（2）解：由已知，得 ，且x＞0，則

∵函數f（x）是減函數

∴f'（x）≤0對x＞0恒成立，即不等式 為 對恒成立

由二次函數的性質可得

解得a≤﹣1，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]

另解： 對x＞0恒成立，即 對x＞0恒成立，即

【解析】求函數的定義域（0，+∞）（1）把a=0代入求導，研究函數的單調區間，根據單調性求函數的極值．（2）由題意可得f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，轉化為求函數f′（x）在（0，+∞）的最大值小于（等于）0，進而求解，也可利用二次函數的圖象及根的分布問題求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．