Question

【題目】已知F為橢圓C： + =1的右焦點，橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l：x=m的距離之比為 ，求：
（1）直線l方程；
（2）設A為橢圓C的左頂點，過點F的直線交橢圓C于D、E兩點，直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點．以MN為直徑的是圓是否恒過一定點，若是，求出定點坐標，若不是請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓C： + =1，可得a=2，c=1，右焦點F（1，0），其離心率e= ．

∵橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l：x=m的距離之比為 ，

∴ =4．

∴直線l方程為：x=4

（2）解：當DE⊥x軸時，把x=1代入橢圓方程解得y= ，∴D ，E ．

可得直線AD的方程：y= ，解得M（4，3），同理可得N（4，﹣3），

可得以MN為直徑的圓過點F（1，0），G（7，0）．

下面證明以MN為直徑的圓恒過上述兩定點．

證明：設直線DE的方程為：my=x﹣1，D（x1，y1），E（x2，y2）．

聯立 ，化為（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ．

直線AD的方程為：y= ，可得M ，

同理可得N ．

∴ = =9+

=9+ =9﹣9=0，

∴以MN為直徑的圓恒過一定點F（1，0），G（7，0）．

同理可證：以MN為直徑的圓恒過一定點G（7，0）．

因此以MN為直徑的圓恒過一定點F（1，0），（7，0）．

【解析】（1）利用橢圓的標準方程及其橢圓的第二定義即可得出；（2）當DE⊥x軸時，把x=1代入橢圓方程解得D ，E ．可得直線AD的方程：y= ，解得M，N，可得以MN為直徑的圓過點F（1，0），G（7，0）． 下面證明以MN為直徑的圓恒過上述兩定點．設直線DE的方程為：my=x﹣1，D（x1 ， y1），E（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為（3m2+4）y2+6my﹣9=0，直線AD的方程為：y= ，可得M ，同理可得N ．利用根與系數的關系可證明 =0，即可得出結論．