Question

規定=，其中是正整數，且=1，這是組合數 (是正整數，且)的一種推廣．
(1)求的值；
(2)設，當為何值時，取得最小值?
(3)組合數的兩個性質：①=； ②+=
是否都能推廣到 (是正整數)的情形?若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．

Answer 1

(1)．
(2)當時，取得最小值．
(3)性質①不能推廣．例如當時，有意義，但無意義；
性質②能推廣，其推廣形式是：，是正整數，

解析試題分析：(1)．  4分
(2)
∵當且僅當時，取等號
∴當時，取得最小值．  8分
(3)性質①不能推廣．例如當時，有意義，但無意義；
性質②能推廣，其推廣形式是：，是正整數，12分
事實上，當時，有，
當時，

=
=．  15分
考點：本題主要考查組合數的性質及其應用，歸納推理，均值定理的應用。
點評：中檔題，本題由3道小題組成，前兩小題解題思路明確，利用組合數公式及其性質變形、計算，其中（2）在得到函數表達式的基礎上，靈活運用均值定理求最值，具有一般性。（3）利用歸納推理，作出判斷，利用組合數公式及其性質進行了證明，對復雜式子變形能力要求高。