Question

【題目】對于三個實數、、，若成立，則稱、具有“性質”.

（1）試問：①，0是否具有“性質2”；

②（），0是否具有“性質4”；

（2）若存在及，使得成立，且

，1具有“性質2”，求實數的取值范圍；

（3）設，，，為2019個互不相同的實數，點（）

均不在函數的圖象上，是否存在，且，使得、

具有“性質2018”，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①具有“性質2”，②不具有“性質4”；（2）；（3）存在.

【解析】

（1）①根據題意需要判斷的真假即可② 根據題意判斷是否成立即可得出結論；（2）根據具有性質2可求出的范圍，由存在性問題成立轉化為 ，根據函數的性質求最值即可求解.

（1）①因為，成立,

所以，故，0具有“性質2”

②因為，設，則

設，

對稱軸為，

所以函數在上單調遞減，當時，，

所以當時，不恒成立，

即不成立，

故（），0不具有“性質4”.

（2）因為，1具有“性質2”

所以

化簡得

解得或 .

因為存在及，使得成立，

所以存在 及使 即可.

令，則，

當時，，

所以在上是增函數，

所以時，，當時，，

故時，

因為在上單調遞減，在 上單調遞增，

所以，

故只需滿足即可，解得.

（3）假設具有“性質2018”，則，

即證明在任意2019個互不相同的實數中，一定存在兩個實數,滿足：

.

證明：

由，

令，由萬能公式知，

將等分成2018個小區間，則這2019個數必然有兩個數落在同一個區間，令其為：，即，

也就是說，在，，，這2019個數中，一定有兩個數滿足，

即一定存在兩個實數，滿足，

從而得證.