Question

已知函數f(x)=4x3-3x2sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）若f′（x）的最小值為-

3

4

，試判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）的極小值大于零，求θ的取值范圍．

Answer 1

（I）f'（x）=12x²-6xsinθ，
當x=

sinθ

4

時，f'（x）有最小值為f′(x)=-

3

4

sin2θ，
所以-

3

4

sin2θ=-

3

4

，即sin²θ=1，
因為θ∈（0，π），所以sinθ=1，
所以f'（x）=12x²-6x，
所以f（x）在(0，

1

2

)上是減函數，在(-∞，0)，(

1

2

，+∞)上是增函數，
而f(0)=

1

32

＞0，f(

1

2

)=-

7

32

＜0，
故函數f（x）的零點個數有3個；
（Ⅱ）f'（x）=12x²-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x1=0，x2=

sinθ

2

，
由θ∈（0，π）知sinθ＞0，根據（I），當x變化時，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， sinθ 2 )	sinθ 2	( sinθ 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因此，函數f（x）在x=

sinθ

2

處取得極小值f(

sinθ

2

)=-

1

4

sin3θ+

1

32

，
要使f(

sinθ

2

)＞0，必有-

1

4

sin3θ+

1

32

＞0
整理得0＜sinθ＜

1

2

，又θ∈（0，π），
解得θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．
所以θ的取值范圍是θ∈(0，

π

6

)∪(

5π

6

，π)．