Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，則下列四個命題中真命題的序號為

 

．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

Answer 1

分析：根據已知條件可判斷a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，0＜a₂₀₀₉＜1＜a₂，從而公差d＜0可判斷③，
然后兩式相加整理可得a₂+a₂₀₀₉=2，利用等差數列的性質可知a₁+a₂₀₁₀=a₂+a₂₀₀₉=2可判斷①②，
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，結合等差數列的性質，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆，
從而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅，可判斷④的正誤．

解答：解：由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，從而可得等差數列的公差d＜0
③a₂₀₀₉＜a₂正確
把已知的兩式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0
結合上面的判斷可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0
所以a₂+a₂₀₀₉=2，而s2010=

a1+a2010

2

×2010=2010×

a2+a2009

2

=2010②正確
由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，則S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009①錯誤
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，結合等差數列的列的性質，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆
從而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅
④s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a1006}＞0，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題注意考查了等差數列的性質的運用，靈活利用m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q，是解決問題的關鍵，還要求考生具備一定的推理論證能力．