Question

多向飛碟是奧運會的競賽項目，它是由拋靶機把碟靶（射擊的目標）在一定范圍內從不同的方向飛出，每拋出一個碟靶，就允許運動員射擊兩次，直到擊中為止．一運動員在進行訓練時，每一次射擊命中碟靶的概率P與運動員離碟靶的距離S（米）成反比，現有一碟靶拋出的距離S（米）與飛行時間t（秒）滿足S=15（t+1），（0≤t≤4）．假設運動員在碟靶飛出后0.5秒進行第一次射擊，且命中的概率為0.8，如果他發現沒有命中，則通過迅速調整，在第一次射擊后經過0.5秒進行第二次射擊．
理科：（1）設該運動員命中碟靶的次數為ξ，求ξ的分布列；（2）求Eξ和Dξ．
文科：求該運動員命中碟靶的概率．

Answer 1

分析：【理科】（1）設P=

k

S

（常數k＞0），則P=

k

15(t+1)

，當t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，P=

6

5(t+1)

，當t=1秒時，P₂=0.6．故P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.92．ξ可能取值為0，1，由此能求出該運動員命中碟靶的次數ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ．
【文科】設P=

k

S

（常數k＞0），則P=

k

15(t+1)

，當t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，故P=

6

5(t+1)

，當t=1秒時，P₂=0.6．由此能求出該運動員命中碟靶的概率．

解答：【理科】（1）設P=

k

S

（常數k＞0），
則P=

k

15(t+1)

，…（2分）
當t=0.5秒時，P₁=0.8，代入上式得k=18，
∴P=

18

15(t+1)

=

6

5(t+1)

，
∴當t=1秒時，P₂=0.6，…（4分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（6分）
ξ可能取值為0，1，
由題意P（ξ=0）=0.2×0.4=0.08，
P（ξ=1）=0.8+0.2×0.6=0.92．…（9分）
那么ξ的分布列為

ξ	0	1
P	0.08	0.92

…（10分）
（2）Eξ=0×0.08+1×0.92=0.92，
Dξ=（0-0.92）²×0.08+（1-0.92）²×0.92=0.0736．…（12分）
【文科】設P=

k

S

（常數k＞0），
則P=

k

15(t+1)

，…（3分）
當t=0.5秒時，P₁=0.8，
代入上式得k=18，…（5分）
∴P=

18

15(t+1)

=

6

5(t+1)

，
∴當t=1秒時，P₂=0.6．…（9分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型分布列的求法和數學期望的計算，解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合知識的靈活運用．