Question

（2013•青島一模）如圖，幾何體ABCD-B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且BB1=

2

a，E為CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：△DB₁E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求證：AC∥面DB₁E．

Answer 1

分析：（I）連接BD，交AC于O，先求出BD的值，利用勾股定理求出DB₁、B₁E、DE的長度，即可得到△DB₁E為等腰
直角三角形．
（II）取DB₁的中點F，連接EF、OF，證明四邊形EFOC為平行四邊形，即可證得AC∥面DB₁E．

解答：解：（I）連接BD，交AC于O，因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，所以BD=a．
因為BB₁、CC₁都垂直于面ABCD，∴BB₁∥CC₁ ，又面B₁C₁D₁∥面ABCD，∴BC∥B₁C₁ ，
故四邊形BCC₁B₁為平行四邊形，則B₁C₁=BC=a…（2分）
因為BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，
則DB1=

DB2+BB12

=

a2+2a2

=

3

a，DE=

DC2+CE2

=

a2+ a2 2

=

6 a

2

，且 B1E=

B1C12+C1E2

=

a2+ a2 2

=

6 a

2

，…（4分）
所以DE2+B1E2=

6a2+6a2

4

=3a2=DB12，所以△DB₁E為等腰直角三角形． …（6分）
（II）取DB₁的中點F，連接EF、OF，
因為O，F分別為DB，DB₁的中點，所以OF∥BB₁，且OF=

1

2

BB1．
因為EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB1，所以OF∥EC，且OF=EC，
所以，四邊形EFOC為平行四邊形．…（10分）
所以EF∥AC，因為AC?面DB₁E，EF?面DB₁E，
所以AC∥面DB₁E．…（12分）

點評：本題主要考查利用勾股定理證明直線和直線垂直，利用直線和平面平行的判定定理證明直線和平面平行，
注意利用三角形中位線的性質，屬于中檔題．