Question

點P（x₀，y₀）是曲線y=

1

x

（x＞0）上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x，y軸分別交于A，B兩點，點O是坐標原點，有下列三個命題：
①PA=PB；
②△OAB的面積是定值；
③曲線C上存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．
其中真命題的個數是

2

（填寫命題的代號）

Answer 1

分析：曲線C在點P處的切線方程為

x

x02

+y-

2

x0

=0，求出A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x₀，

1

x0

），由此得到PA=PB，△OAB的面積S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2；由題意知曲線C上不存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形．

解答：解：∵y=

1

x

（x＞0），
∴y′=-

1

x2

，
∴曲線C在點P處的切線方程為：y-

1

x0

=-

1

x02

（x-x₀），
整理，得

x

x02

+y-

2

x0

=0，
∴A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），P（x₀，

1

x0

），
∴PA=PB=

x02+ 1 x02

，故①正確；
∵A（2x₀，0），B（0，

2

x0

），
∴△OAB的面積S=

1

2

×2x0×

2

x0

=2，故②正確；
曲線C上不存在兩點M，N，使得△OMN為等腰直角三角形，故③不正確．
故答案為：2

點評：本題考查反比例函數的性質和應用，解題時要認真審題，注意導數的性質的靈活運用．