Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．

（Ⅰ）求證：AC⊥DE；

（Ⅱ）求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

（1）同解析；（2）V_P—ABCD＝S_□ABCD·PD＝×24×＝

解析:

（Ⅰ）證明：連接BD，設AC與BD相交于點F．

因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因為PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

E為PB上任意一點，DE平面PBD，所以AC⊥DE．

（Ⅱ）連EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF平面PBD，所以AC⊥EF．

S_△ACE＝AC·EF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB． 

S_△ACE＝3，×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得．由于EF＝1，FB＝4，，

所以PB＝4PD，即．解得PD＝．

V_P—ABCD＝S_□ABCD·PD＝×24×＝