Question

過點B(0,-a)作雙曲線x²-y²=a²右支的割線BCD,又過右焦點F作平行于BD的直線,交雙曲線于G、H兩點.

(1)求證:

(2)設(shè)M為弦CD的中點,S_△MBF= a²,求割線BD的傾斜角.

Answer 1

(1)證明:當a＞0時,設(shè)割線的傾斜角為α,則它的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).                 ①?

則過焦點F且平行于BD的直線GH的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).                         ②?

將①代入雙曲線方程,得t²cos2α+2atsinα-2a²=0.?

設(shè)方程的解為t₁、t₂,則有

BC·BD=t₁t₂=-,

同理,GF·FH=-FG·FH=-?

∴=2.?

同理,當a＜0時也得上述結(jié)果.

(2)解:當a＞0時,首先確定割線BD的傾斜角的范圍,?

顯然1＜tanα＜,?

于是,BM=

設(shè)F到BD的距離為d,則d=

∴tanα=或tanα=-(舍去).?

∴α=arctan.?

同理,當a＜0時,-＜tanα＜-1,可求得tanα=-,∴α=π-arctan.

∴BD的傾斜角為arctan(a＞0)或π-arctan(a＜0).