Question

如圖,過(guò)點(diǎn)B(0,-b)作橢圓=1(a>b>0)的弦,求這些弦長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

|BM|的最大值為2b.

解析:

設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn).

|BM|²=x²+(y+b)²=x²+y²+2by+b²,由=1,有x²=(b²-y²).

將其代入上式,整理,然后配方有

|BM|²=(1-)y²+2by+(a²+b²)

=(1-)·(y-)²+.

∵-b≤y≤b,

(1)當(dāng)b≤c(即b≤a)時(shí),≤b,

∴y=時(shí),|BM|的最大值為;

(2)當(dāng)b>c(即b>a)時(shí),>b,故y=b時(shí),點(diǎn)M在(0,b),即y軸上之頂點(diǎn)位置,|BM|²的最大值為(1-)(b-)²+=4b².

∴|BM|的最大值為2b.