Question

設x，y滿足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

若z=4x²+y²的最小值為25，則

k=-7

．

Answer 1

分析：根據已知條件實數x，y滿足，令u=2x，v=y，將已知的可行域，轉化為

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目標函數變為z=u²+v²，將4x²+y²的最小值轉化為可行域中的點到原點最小距離的平方，其實質z就是圓半徑的平方，列出等式從而求出k值；

解答：解：∵設x，y滿足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，可以令u=2x，v=y，將可行域

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，
轉化為

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目標函數z=u²+v²，畫出可行域：

可得B（

1-k

2

，

-k-1

2

）
∵z=4x²+y²=u²+v²，的最小值為25，也即點B到原點的距離的平方等于25，
∴(

1-k

2

)2+(

-k-1

2

)2=25，解得k=±7，∵k＜0，
∴k=-7，
故答案為k=-7；

點評：本題只是直接考查線性規劃問題，跟以前做的不一樣需要換元轉化，因為z=4x²+y²不是標準的圓，我們要轉化為可行域中的點到圓心的距離，近年來高考線性規劃問題高考數學考試的熱點，數形結合是數學思想的重要手段之一．